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La mejor pregunta de Estadística de la historia

• Publicado por - InterUniversidades - 14 de enero de 2015 - Temas Libres para todos los miembros de la Comunidad InterUniversidades.com: tu opinión, tu impresión, tu historia... Educación - #Estadística  #Paradojas  - 1.399 visitas

   

  La mejor pregunta de estadística de la historia ¿Eres capaz de resolverla?

   

  

  No son matemáticas es una pregunta de pura estadística que se hizo viral hace tiempo y que continua sorprendiendo a todo el que se la encuentra por internet.

  Por mucho que intentes buscar una respuesta acertada no podrás encontrarla ya que la pregunta es autoreferencial y una paradoja en sí misma.

  Suponiendo que una de las cuatro respuestas es correcta entonces:

  - La a y la d al ser iguales se autodescartan.

  - La b tampoco puede ser porque la probabilidad de acertar al azar con un 50% sólo es posible si hay dos respuestas.

  - La c también se descarta sola ya que no tiene sentido que con cuatro respuestas posibles no se puede acertar al azar con un 60% de probabilidades.

   

  RESUMIENDO: Las cuatro respuestas son erróneas por lo que elijamos la que elijamos nos estamos equivocando.

  Lo cierto es que la pregunta tiene una respuesta correcta, 0% de probabilidades, la paradoja es que la respuesta correcta no se encuentra entre las opciones que te dan. Si escoges al azar uno de los cuatro incisos, la probabilidad de obtener uno que tenga escrito “0%” es, precisamente, ¡de 0%!

   

  Para complicar todavía más las cosas os diremos que si te hubieran dado 0% como una de las opciones posibles está también seria incorrecta ¿Cómo es eso posible? Esto lo puedes entender mejor leyendo este artículo de 2011 de Naukas donde lo explican en profundidad.

  ¿Hay una respuesta correcta? ¿Es un problema irresoluble?  

  

   

  Analicemos esto. Veamos: 

  Si elegimos una respuesta a esta pregunta al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea correcta?

  Por un lado, esta pregunta ha sido considerada como una Paradoja matemáticas o incluso “La mejor pregunta de estadística de la historia“. Aunque la verdad es que no sea tanto...

  En las siguientes líneas vamos a analizar esta cuestión y tratar de dar una respuesta que satisfaga a todos.

  En primer lugar, cuando hablamos de probabilidad y no interviene ningún dato más, hay que irse a la intuición. Y en este campo la intuición es igual a la Regla de Laplace, debida al matemático francés Pierre Simon Laplace:

   

  

   

  Antes de abordar La Pregunta  vámos a un caso sencillo. Supongamos que en un tipo test preguntan:

  ¿Cuál es la probabilidad de que salga un cara al lanzar una moneda normal?

  y tenemos como posibles respuestas 

  (a)25%      (b)50%      (c)75%      (d)100%.

   

  ¿Cual será la probabilidad de acertar si elegimos al azar una respuesta?  La respuesta correcta es, obviamente, la (b) por lo tanto tenemos un caso favorable de 4 posibles, luego la probabilidad que preguntan es 25%. Ojo esta no es la respuesta a la cuestión sobre moneda, sino a la segunda pregunta, la que nos pide la probabilidad de acertar, si elegimos una respuesta al azar. Son dos probabilidades diferentes, más aún, son sucesos diferentes.

   

  Compliquemos algo más la situación. 

  ¿Cuál es la probabilidad de que salga un cara al lanzar una moneda normal?

  pero las respuestas han cambiado:

  a)10%      b)20%      c)30%      d)40%.

  En estas nuevas condiciones, ¿cuál es la probabilidad de acertar si elegimos una respuesta al azar?. Ahora tenemos, de nuevo, 4 casos posibles (las 4 posibles respuestas), pero los favorables son… 0 patatero, así que Laplace dice que la probabilidad de acertar es 0%. Tal y como ocurría antes, tenemos 2 sucesos diferentes, uno es que la moneda salga cara, cuya probabilidad es 1/2 o 50%; mientras que el otro suceso es que acertemos la respuesta al azar, cuya probabilidad, en este caso, es del 0%.

   

  ¿Y qué pasa con la pregunta del millón, la que está en el dibujo? se complica bastante, ya que la pregunta del test y la segunda pregunta que nos hacemos (en los casos anteriores son independientes una de la otra), están estrechamente relacionadas. La segunda hace referencia a la primera y la primera a la segunda… que son autorreferentes. Para ello, necesitamos saber cual es la respuesta correcta, así que vamos a ir poco a poco y vamos a utilizar el viejo truco de la Reducción al absurdo(es decir, partimos de una suposición inicial y si por los procedimientos lógicos llegamos a una contradicción, deducimos que dicha suposición debe ser falsa).

  1. Supongamos que la respuesta correcta es la (a) 25%.
     Esto significa que la probabilidad de acertar la respuesta correcta es un 25%. Pero claro, como la opción (d) es igual que la (a) tendremos 2 casos favorables de 4 posibles, luego Laplace dice (y no se equivoca) que la probabilidad de acertar la respuesta correcta sería de un50%. ¿Pero no era 25%? Pues eso, hemos llegado a una contradicción: si suponemos que la probabilidad es 25%, entonces (por culpa de la autorreferencia) resulta que ésta debe ser 50%. Así que nuestra suposición inicial debe ser falsa. Descartamos (a) comoposible solución.
  2. Supongamos que la respuesta correcta es la (b) 50%.
     Esto significa que la probabilidad de acertar la respuesta correcta es un 50% (bueno, tiene su lógica, ya que antes nos salió esta cantidad). Pero en este caso, Laplace dice que hay un único caso favorable de 4 posibles, luego la probabilidad de acertar sería de un 25%. De nuevo llegamos a contradicción y decidimos que hay que descartar (b) como respuesta correcta.
  3. Supongamos que la respuesta correcta es la (c) 60%.
     Esta es, quizás, la más fácil de todas las opciones. Esto significa que la probabilidad de acertar la respuesta correcta es un 60% (esto ya de por sí parece bastante raro, ¿no? pero tengámoslo en cuenta por si acaso). Entonces, igual que en el caso anterior, habría un caso favorable de 4 posibles, luego la probabilidad sería de un 25% y no un 60%. Descartamos pues la (c).
  4. Supongamos que la respuesta correcta es la (d) 25%.
     Bueno, si nos fijamos, este caso es idéntico al primero que estudiamos y que nos lleva a contradicción, luego también podemos descartar la (d).

   

  A ver, ¿hemos descartado todas las posibilidades que nos daban?

  Pues sí, como en el segundo ejemplo de la moneda, todas las respuestas son descartables. Así pues, ¿cuál es la probabilidad de acertar si elegimos una respuesta al azar? Pues elijamos la que elijamos, nos equivocaremos, por lo tanto tendremos 0 casos favorables de entre 4 posibles y Laplace dice que la respuesta es 0%.

   

  ¿Qué está pasando en realidad?

  Bueno, si sólo tuviéramos que responder al tipo test, se trataría de una paradoja del mismo estilo que la muy famosa Paradoja del Barbero, de Bertrand Russell, la Paradoja del Mentiroso o la algo menos conocida Paradoja de El Quijote.

  Ésta última aparece en el capítulo LI de la segunda parte de El Quijote. En él, Sancho es el gobernador de la Ínsula de Barataria y como tal debe responder de forma justa ante las disputas de sus (supuestos) súbditos. De pronto le presentan el siguiente dilema. Sobre un río hay un puente que divide dos propiedades y sobre el puente rige la siguiente ley: Quien pase por el puente ha de ser preguntado por sus intenciones, si dice la verdad podrá pasar, si miente, será ahorcado. Un juez debe determinar la suerte del que pase. Pero un cierto día, un individuo que pasó por el puente, preguntado por sus intenciones, respondió vengo a ser ahorcado en esa horca y sólo a ello. En estas condiciones, el juez del puente acude a Sancho para que decida lo que hacer.

   

  Es obvio, que esto es un claro ejemplo de paradoja por razonamiento circular: si ahorcan al individuo habría dicho la verdad y deberían haberle dejado pasar, pero si lo dejan pasar entonces habría mentido y debería haber sido ahorcado.

  Algo parecido sucede con nuestra pregunta estadística. Si suponemos, como sería lógico a primera vista, que la respuesta es 25%, resulta que, como hay 2 iguales, será del 50%; pero si fuera del 50%, al haber sólo 1 respuesta, sería del 25% y volveríamos a empezar. Todo un razonamiento circular.

  Pero señores, aquí hay que  pensar. Así que vamos a complicar algo más las cosas y vamos a poner esta segunda cuestión, si colocamos en la "C" un 0, entonces si podemos decir que presentamos "La mejor pregunta de Estadística de la historia ". 

  Ésta última aparece en el capítulo LI de la segunda parte de El Quijote. En él, Sancho es el gobernador de la Ínsula de Barataria y como tal debe responder de forma justa ante las disputas de sus (supuestos) súbditos. De pronto le presentan el siguiente dilema. Sobre un río hay un puente que divide dos propiedades y sobre el puente rige la siguiente ley: Quien pase por el puente ha de ser preguntado por sus intenciones, si dice la verdad podrá pasar, si miente, será ahorcado. Un juez debe determinar la suerte del que pase. Pero un cierto día, un individuo que pasó por el puente, preguntado por sus intenciones, respondió vengo a ser ahorcado en esa horca y sólo a ello. En estas condiciones, el juez del puente acude a Sancho para que decida lo que hacer.

  Es obvio, que esto es un claro ejemplo de paradoja por razonamiento circular: si ahorcan al individuo habría dicho la verdad y deberían haberle dejado pasar, pero si lo dejan pasar entonces habría mentido y debería haber sido ahorcado.

  Algo parecido sucede con nuestra pregunta estadística. Si suponemos, como sería lógico a primera vista, que la respuesta es 25%, resulta que, como hay 2 iguales, será del 50%; pero si fuera del 50%, al haber sólo 1 respuesta, sería del 25% y volveríamos a empezar. Todo un razonamiento circular.

  Pero señores, como dirían los gaditanos, esto es Amazings y aquí hay que mamar pensar. Así que vamos a complicar algo más las cosas y vamos a poner esta segunda cuestión. Esta sí que la calificaría yo como la mejor pregunta de estadística de todos los tiempos (de hecho, ya hay quien se lo ha planteado).

  

  Imagen modificada a partir de la anterior

  ¿Veis la diferencia? Ahora hemos cambiado la respuesta (c): antes ponía 60% y ahora pone 0%.

  El mismo análisis anterior, en los casos 1, 2 y 4 descartan las respuestas (a), (b) y (d) como correctas. Supongamos, pues, que la respuesta es la (c), es decir, la probabilidad de acertar es del 0%. Entonces Laplace diría que habría 1 caso favorable entre 4 posibles, luego la respuesta correcta sería 25% y tendríamos que descartar (c).

  ¿Qué creéis que pasa en este caso? Esta vez no os lo vamos a resolver aquí: os dejamos los comentarios para que penséis en ello y aportéis vuestras impresiones.

  Pero, además, podemos pensar en qué ocurriría con otro tipo de configuraciones de respuestas, por ejemplo con la siguiente:

  

  Imagen modificada a partir de la primera

  ¿Qué ocurre en este caso? ¿Cual es la auténtica respuesta correcta? Si no tienes suficiente con todos los retos que te proponemos hoy, quizás también te interese pensar en La Paradoja del huevo inesperado, o en una de esas cosas que le gustaban a Gödel o tratar de responder a este test autorreferente que aseguran tiene solución única, es decir, se pude completar usando la lógica autorreferencial.

   

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